Однозначного ответа, от какого именно слова она образована, нет, но есть две основные версии, и обе заслуживают внимания.

Первая и наиболее вероятная версия связывает фамилию с церковными именами. В её основе лежит краткая форма Еря — производная сразу от нескольких крестильных имён: Еремей (в переводе с древнееврейского — «возвышенный Богом»), Ермолай (греческое «вестник народа») или Ерофей (от греческих слов hieros — «священный» и theos — «бог»). В народной среде такие сокращения были обычным делом: длинные имена быстро превращались в короткие обиходные варианты. Суффикс -юк в фамилии Ерюков указывает на украинское или белорусское влияние: в этих землях он был типичным при образовании фамилий, означая «маленький» или «сын» (вроде русского суффикса -ович/-евич). Скорее всего, основатель рода Ерюковых был человеком из простого сословия, а сама фамилия закрепилась на южнорусских или малороссийских территориях.

Вторая версия отталкивается от прозвища Ерюк. Его могли дать человеку с непростым характером. В словаре Владимира Даля глагол «ереститься» трактуется как «сердиться, ворчать; задориться». Если это так, то прозвище Ерюк отражало эмоциональность и горячность предка — этакого ворчуна или задиру. Правда, эта гипотеза слабее первой: глагол «ереститься» довольно редкий и локальный, а имена-сокращения вроде Еря встречаются повсеместно.

Обратите внимание на форму фамилии: Ерюкова — это женский вариант. Мужская форма — Ерюков. Фамилия склоняется по стандартным правилам русского языка. Встречается она преимущественно в южных регионах России и на Украине, что косвенно подтверждает версию о суффиксе -юк. Среди известных носителей фамилии нет громких исторических фигур, что типично для фамилий, возникших в крестьянской или мещанской среде.