Фамилия Евецкие (в мужском роде — Евецкий) чаще всего связывают с именем Ева. По этой версии, именование Евец первоначально получал сын человека по имени Ева: славянский суффикс -ец как раз и указывал на принадлежность к роду («тот, кто из семьи Евы»). Само имя Ева в данном случае могло быть не библейским, а сокращённой формой от греческих имён с началом Ев-: Евгений («благородный»), Евграф («писаный красавец»), Евстрат («добрый воин») и других. Такие усечённые формы в быту давали детям независимо от сословия, хотя, скорее всего, основатель рода был человеком простого звания.

Есть и другая версия, менее известная. Она выводит прозвище Евецкий из древнерусского слова «евеньскъ», то есть «чёрное дерево». В этом случае прозвище могло закрепиться за человеком, который жил возле отдельно стоящего обгоревшего или почерневшего дерева — такой ориентир на местности легко становился семейным прозвищем. Обе гипотезы имеют право на существование, но первая (от имени) выглядит более естественной для славянской модели образования фамилий.

Форма на -цкий в фамилии Евецкий типична для украинской ономастики. В украинской традиции суффикс -цький (-цкий) часто добавляли к основе, чтобы указать на происхождение из определённого рода или местности. Процесс закрепления таких фамилий активно шёл с XIV века, когда фамилии на -ский/-цкий стали распространяться среди шляхты, а затем и среди других сословий.

Среди носителей фамилии известен Орест Степанович Евецкий — писатель и собиратель народной малорусской словесности. Он также составил «Статистическое описание Закавказского края», куда вошла статья о политическом состоянии региона в конце XVII века. Его деятельность показывает, что род Евецких оставил след не только в бытовой, но и в культурной истории.