Фамилия Еврокатов — редкий пример того, как прозвище, связанное с народной игрой, превратилось в наследственное родовое имя. В основе лежит прозвище Яврокат, которое разбирается на две славянские основы: «явро» (диалектное «яйцо») и «кат-» (катать). Иными словами, Яврокат — это «тот, кто катает яйца». Имя закрепилось за человеком, который особенно любил или умел играть в пасхальное катание яиц.

По древнему обычаю, крашеные яйца скатывали по специальным желобкам или дорожкам. Смысл игры — пустить своё яйцо так, чтобы оно коснулось яйца соперника. Если касание происходило, чужое яйцо считалось выигранным и переходило к победителю. Цель — собрать как можно больше яиц. Человек, который постоянно участвовал в этой забаве или ловко выигрывал, получал прозвище Яврокат. Чередование гласных е/я (Еврокат вместо Яврокат) — результат исторических фонетических процессов в языке, когда произношение со временем сместилось.

Фамилия образована по стандартной русской модели: к основе прозвища добавился патронимический суффикс -ов, указывающий на принадлежность («сын Явроката»). Со временем прозвище забылось, а фамилия осталась.

Самый ранний известный носитель фамилии — Еврокатов Дмитрий Дмитриевич, русский колхозник, родившийся в 1884 году в деревне Богородское Благовещенского района Башкирии. Эта запись из Книги памяти Республики Башкортостан подтверждает, что фамилия бытовала в крестьянской среде Поволжья и Приуралья. Других известных носителей или исторических упоминаний пока не выявлено, что делает фамилию крайне редкой и локальной.