Фамилия Еврокатова происходит от прозвища Яврокат, которое сложили из двух славянских корней: «явро» (яйцо) и «кат-» (катать). Такое прозвище могли дать человеку, который был особенно азартен в пасхальной игре в катание яиц. В этой старинной забаве участники пускали крашеные яйца по специальным дорожкам, стараясь задеть чужое яйцо — задетое считалось выигранным. Цель была собрать как можно больше яиц соперников. Прозвище Яврокат, скорее всего, закрепилось за тем, кто либо часто побеждал в этой игре, либо был её заводилой.

Чередование гласных е/я в основе (Яврокат → Еврокатов) — обычное дело для живой русской речи: исторические процессы в языке меняли звучание слов, и форма на «е» со временем стала основной в фамилии. Суффикс -ов указывает на принадлежность: Еврокатов — буквально «сын Явроката» или «из рода Явроката».

Фамилия редкая, и её география привязана к конкретному региону. В Книге памяти Республики Башкортостан упоминается русский колхозник Еврокатова Дмитрий Дмитриевич 1884 года рождения из деревни Богородское Благовещенского района Башкирии. Эта запись — одно из немногих документальных подтверждений бытования фамилии, и она показывает, что в XIX — начале XX века носители жили на Южном Урале, в крестьянской среде. Других известных исторических ветвей или знаменитых носителей фамилии пока не выявлено.