Фамилия Эйбаур — явный пришелец в русском ономастиконе, и её разбор лучше начать с географии. Это не славянская и не тюркская фамилия, а немецкая или австрийская, причём довольно редкая. Встречается она в основном среди потомков немецких колонистов, переселившихся в Российскую империю в XVIII–XIX веках, а также среди российских немцев, репатриированных в XX веке. Поэтому искать её корни стоит не в древнерусских прозвищах, а в германской антропонимике.

Разложим фамилию на составные части. Основа «Эйб» (Eib) — это сокращённая или диалектная форма от немецкого слова «Eibe» — «тис», хвойное дерево. Вторая часть «-баур» (Bauer) переводится как «крестьянин», «земледелец» или «строитель». Таким образом, буквальное значение фамилии — «тисовый крестьянин» или «крестьянин, живущий у тиса». В Германии и Австрии такие фамилии нередко давали по месту жительства: человек, чей дом стоял возле заметного тисового дерева или в местности, где тис был распространён, получал прозвище «Эйбауэр».

Словообразовательная модель типична для немецких фамилий: сложение двух корней, где второй компонент указывает на социальный статус или занятие. В отличие от русских фамилий с суффиксами -ов/-ев, -ин, здесь нет патронимического окончания — фамилия застыла в форме чистого прозвища. При переходе в русский язык окончание «-ер» в «Bauer» могло редуцироваться или записываться как «-ур», что и дало форму «Эйбаур» вместо более точного «Эйбауэр». Встречаются также варианты написания: Эйбауэр, Эйбауер, Айбаур.

Социальный контекст фамилии однозначный: предки носителя были крестьянами, скорее всего, из числа немецких колонистов, которых Екатерина II и Александр I приглашали осваивать Поволжье, Новороссию и Закавказье. Это не дворянская и не городская фамилия — она указывает на человека, тесно связанного с землёй и сельским хозяйством. В советское время, в ходе депортаций, многие носители фамилии оказались в Казахстане и Сибири, где фамилия сохранилась, но уже без связи с первоначальным значением.

Споров о происхождении фамилии практически нет: германские корни очевидны, а альтернативные версии (например, связь с каким-либо тюркским корнем) не выдерживают критики из-за отсутствия параллелей в тюркских языках. Единственная неоднозначность — могла ли фамилия быть не крестьянской, а топонимической, то есть указывать на выходца из населённого пункта с названием вроде Эйбау (Eibau) в Саксонии. Такое возможно, но менее вероятно: в немецкой ономастике фамилии на -bauer чаще профессиональные, чем географические.