Фамилия Эймутис — редкая для России, её происхождение почти наверняка связано с прибалтийским регионом, а точнее — с Литвой или Латвией. Об этом говорит характерное окончание -ис, которое в литовской и латышской ономастике является типичным патронимическим суффиксом, указывающим на принадлежность к роду или отцу (аналог русских -ов/-ев). В русской среде такие фамилии почти не встречаются, поэтому носитель Эймутис почти наверняка имеет предков из числа балтийских народов.

Основа фамилии — личное имя Эймутис, которое, скорее всего, является уменьшительной или производной формой от более древнего двухосновного имени. В литовской традиции распространены имена с корнем eim- (связанным с глаголом eiti — «идти» или «ехать») или aim- (от aimėti — «целиться»). Вторая часть имени могла восходить к корню -ut- (как в слове ūtas — «обычай, привычка»). Таким образом, имя Эймутис могло означать что-то вроде «идущий по обычаю» или «целящийся в привычку», но точное значение утрачено, так как имена такого типа вышли из обихода ещё в XIX веке.

Поскольку фамилия образована от имени, а не от прозвища или профессии, её носители, вероятно, происходили из крестьянской или мещанской среды, где патронимические фамилии на -ис были нормой. Дворянские роды в Литве и Латвии чаще использовали фамилии на -ский или -ич, поэтому социальный статус предков Эймутис был, скорее всего, невысоким. В русских документах фамилия могла искажаться: из-за отсутствия в русском языке мягкого звука [э] её могли записывать как Эймутис или даже Аймутис, а окончание иногда русифицировали до -ов (Эймутисов), но это уже редкий вариант.

В современной России фамилия Эймутис встречается единично, в основном в регионах, куда в советское время переселялись литовцы (Калининградская область, Сибирь). Если вы ищете свои корни, стоит обратить внимание на метрические книги католических приходов Литвы (особенно Жемайтии и Аукштайтии) — именно там, а не в православных записях, следует искать упоминания предков.