Фамилия Фалимендиков — редкая, и её происхождение вызывает вопросы даже у специалистов. Если отбросить самые фантастические версии, остаётся одна, наиболее вероятная: в основе лежит прозвище или некалендарное имя Фалимендик. Суффикс -ик в русских прозвищах часто указывал на человека по характерному признаку или предмету, а окончание -ов превратило прозвище в фамилию по стандартной модели «чей?» — Фалимендиков, то есть сын или потомок Фалимендика.

Сам корень фамилии — тёмный. Скорее всего, он искажён в устной речи. Можно предположить, что исходное слово звучало как «фалимен(т)» или «фалимон» и было связано с греческим именем Филимон («любящий»). В русских говорах имя Филимон нередко произносили как «Фалимон» или «Халимон». От него могли образовать уменьшительную форму Фалимондик, а затем, при быстром произношении, средний согласный «м» выпал, и получилось Фалимендик. Подобные фонетические сдвиги (выпадение звуков для удобства произношения) — обычное дело в диалектной речи.

Менее вероятная, но не исключённая версия — связь с глаголом «фалить» (в некоторых говорах — «обманывать, хитрить») или с диалектным «фалинда» (нечто неуклюжее, болтающееся). В таком случае прозвище Фалимендик могло получить хитроватый или нерасторопный человек. Однако эта гипотеза слабая, потому что глагол «фалить» редок, а суффикс -ендик нетипичен для таких основ.

Географически фамилия тяготеет к южнорусским и, возможно, украинским территориям — там чаще встречались уменьшительные формы на -ик и сохранялось «ф» на месте греческого «фи» в именах. В старых метрических книгах фамилия почти не фиксируется, что говорит о её локальном бытовании и позднем оформлении — скорее всего, в XIX веке.

Таким образом, Фалимендиков — это «сын того, кого звали Фалимендик», а прозвище, скорее всего, переделано из имени Филимон. Если ваши предки носили эту фамилию, они могли быть крестьянами или мещанами из южных губерний России, где имя Филимон было распространено, а местный говор его заметно изменил.