Фамилия Фарошкин — довольно редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. В ней сразу заметен суффикс -кин, который в русской ономастике обычно указывает на принадлежность к женщине: «чей?» — Фарошкин, то есть сын (или потомок) Фарошки. Но здесь важно не спутать: сама исходная форма Фарошка — это не женское имя, а уменьшительно-пренебрежительная или просторечная форма мужского имени.

Скорее всего, в основе лежит имя Фарóш или Фарóша. Такое имя могло быть вариантом крестильного имени Варфоломей (в просторечии — Фоломей, Фара, Фаря) или же производным от редкого имени Фарис (арабского происхождения, «всадник»). В русских говорах, особенно в южных и западных регионах, звук «ф» часто появлялся на месте «хв» или «х»: так, Харлампий превращался в Фарлампия, а Варфоломей — в Фарфоломея и далее в Фара. Фарошка — это типичный «домашний» вариант, как Прошка от Прокофий или Митрошка от Митрофан.

Суффикс -кин, а не -ов, подсказывает, что фамилия образована не от отца, а от матери или от прозвища, оканчивающегося на -а. В старину так могли назвать сына вдовы или женщину, которая вела хозяйство одна: «Фарошкин» — буквально «сын Фарошки». Однако в бытовой практике фамилии на -ин/-кин часто давали и по отцу, если его звали уменьшительно: «Иван Фарошкин» — это Иван, сын Фарошки (Фароша).

Географически фамилия привязана к центральным и южнорусским областям, а также к Поволжью. Встречается она редко, что говорит о локальном происхождении: возможно, родоначальник жил в одной деревне или слободе, и прозвище закрепилось за его потомками без разночтений. В дореволюционных метрических книгах Фарошкины упоминаются в основном среди крестьян и мещан — никаких дворянских корней у этой фамилии нет.

Если сравнивать с однокоренными, то есть фамилия Фарошин (от Фароша) и Фаронов (от Фарон, вариант Фараона — тоже народная форма), но Фарошкин стоит особняком из-за суффикса -к-, который придаёт слову оттенок фамильярности. В итоге: ваш предок, скорее всего, был простым человеком, которого в быту звали Фарошка — сокращением от церковного имени Варфоломей или, реже, от редкого восточного имени Фарис.