Фамилия Фартыгин — это фонетический вариант более распространённой фамилии Фортыгин. Разница в написании объясняется аканьем: в безударной позиции звук «о» произносится как «а», и это произношение со временем закрепилось на письме. Так что перед нами не самостоятельная фамилия, а ответвление общего родового корня.

Основа фамилии — личное именование Фортыга. Тут открывается развилка из двух версий, и обе имеют право на жизнь. Первая, более правдоподобная, возводит Фортыгу к крестильному имени Фортунат. В переводе с латыни оно означает «счастливый», «удачливый», а также «богатый» или «состоятельный». В народной среде длинные и непривычные церковные имена часто усекали и переделывали на свой лад, так что Фортунат вполне мог превратиться в Фортыгу. Покровителем имени считают апостола от семидесяти Фортуната. В греческой традиции его память совершается 15 июня, а в Русской православной церкви отдельного дня ему не установлено — его вспоминают 17 января (4 января по старому стилю) в день Собора апостолов от семидесяти.

Вторая версия отталкивается от нарицательного слова «фортка». Владимир Даль в «Толковом словаре живого великорусского языка» определяет фортку как «дверку в окне, оконницу, которая отворяется по себе», а также как «калитку в заборе или в воротах». Тогда Фортыга — это прозвище, которое могли дать человеку по роду занятий: например, мастеру, делавшему оконные рамы с фортками, или тому, кто строил заборы и калитки. Такая версия выглядит менее вероятной, но полностью сбрасывать её со счетов нельзя — прозвища по ремеслу в русских фамилиях встречаются сплошь и рядом.

Словообразовательная модель проста и типична для русских фамилий: к основе Фортыга добавили патронимический суффикс -ин, указывающий на принадлежность («чей ты будешь?» — «Фортыгин»). Такой суффикс в северных и центральных русских говорах соперничал с более распространённым -ов, и фамилии на -ин здесь не редкость.

Итог простой: потомок человека по имени или прозвищу Фортыга со временем стал писаться как Фартыгин, а затем и как Фортыгин — в зависимости от того, как произносили фамилию в конкретной местности и как её записывали в документах. Обе формы имеют общего предка и одну историю.