Фамилия Фаюткина — редкий случай, когда написание почти полностью скрывает первоначальное звучание. На слух она воспринимается как Фаюткина, но её основа, скорее всего, восходит к крестильному имени Фотий или его просторечной форме Фот (Фот — от греческого «свет, светоч»). В русских говорах, особенно в вятских и пермских, звук «ф» перед гласными часто переходил в «хв» или наоборот, а «о» под ударением могло редуцироваться. Так имя Фотка (уменьшительное от Фотий) в живой речи превратилось в Фаутка, а затем — в фамилию Фауткин. Форма на -а (Фаюткина) — женская или принадлежащая женщине в документах.

Суффикс -кин в этой фамилии указывает на модель образования от прозвища или имени, оканчивающегося на -а/-я: Фаютка — сын Фаютки. Это типичная севернорусская и сибирская модель, где -ин/-ын заменяется на -кин после основ на задненёбные согласные (к, г, х). То есть фамилия буквально означает «чей?» — «Фаюткин», то есть «принадлежащий Фаютке».

Вторая, менее вероятная версия связывает фамилию с тюркским корнем «фают» (от арабского «фауза» — успех, удача), но в русской ономастике такие прямые заимствования редки для фамилий на -кин. Кроме того, в тюркских языках нет типичного русского суффикса -ка, образующего прозвища, поэтому версия с Фотием выглядит убедительнее.

Географически фамилия Фаюткины встречается в основном в Кировской области и Пермском крае — регионах, где в XVII–XVIII веках активно селились выходцы из северных уездов, и где имя Фотий было распространено среди старообрядцев. В церковных метриках XIX века форма «Фаюткин» могла записываться как «Фауткин» или «Фоткин», что подтверждает связь с исходным именем.

Таким образом, предки носительницы фамилии Фаюткина, скорее всего, были крестьянами или посадскими людьми из северного Прикамья или Вятки, а их родовое прозвище пошло от человека по имени Фот (Фотий), которого в быту звали Фаютка.