Фамилия Фазекош — редкий случай, когда за основу взято не имя, не профессия и не географическое название, а чужое слово, которое в русской среде переосмыслили как прозвище. Скорее всего, перед нами венгерское заимствование. В венгерском языке «fazekas» означает «гончар» — ремесленник, работающий с глиной. Слово это звучит как «фазекаш», а на русской почве конечное «ш» вместо «с» появилось, вероятно, из-за того, что в некоторых говорах (или просто на слух) глухой шипящий передавал венгерское произношение точнее, чем свистящий. Так «гончар» превратился в «Фазекоша».

Фамилия образована без типичного русского суффикса -ов или -ин. Это так называемая «окаменелая» форма — прозвище, которое закрепилось в именительном падеже и не менялось по модели притяжательности. Такие фамилии встречаются в основном на западных и южных окраинах России, где сильнее было влияние соседних языков: украинского, польского, венгерского. В данном случае логичнее всего искать корни фамилии в Закарпатье или среди венгерских переселенцев, которые оседали в Причерноморье и на Кубани. Там венгерская лексика могла войти в местные говоры, а затем — в фамилии.

Возможна и другая, менее вероятная версия: фамилия могла возникнуть из прозвища, данного русскому человеку, который торговал или работал с венграми. Но прямое значение «гончар» остаётся самым простым и прозрачным объяснением: предок носителя фамилии Фазекош, скорее всего, действительно лепил горшки.

Встречаемость фамилии крайне низкая. По открытым данным, основные носители живут на юге России и в Запорожской области. В дворянских родословных книгах фамилия не зафиксирована — это однозначно крестьянская или мещанская фамилия, связанная с ремеслом.