Фамилия Федянкина — женская форма фамилии Федянкин, и её ключ к разгадке лежит в уменьшительно-ласкательном суффиксе. В отличие от распространённых фамилий на -ов/-ев или -ин, которые часто указывают на принадлежность отцу («чей сын?»), модель Федянкин образована с помощью суффикса -к-ин. Это двойная уменьшительная форма: сначала от полного имени Фёдор отсекли основу Фед-, добавили суффикс -ян (как в именах Ваня, Петя, Митя), получив Федяня, а затем от этого прозвища или домашнего имени через суффикс -к-ин сделали фамилию. То есть Федянкин буквально означает «сын (или потомок) маленького Феди» или «тот, кто из рода Федяни».

Основа здесь та же, что и у имени Фёдор (греч. Theodoros — «дар Божий»), но сама фамилия — не про торжественность, а про бытовую, семейную сферу. В русской ономастике такие формы с суффиксом -янк- (-енк-) особенно характерны для южных и западных регионов России, а также Украины, где уменьшительные имена на -я, -аня были очень живучи. В северных и центральных губерниях чаще встречались формы Федоров, Федин, Федькин. Федянкин же — явный маркер того, что предки носителя фамилии жили в зоне влияния малороссийских говоров или в приграничных с Украиной областях (Курская, Воронежская, Ростовская губернии).

Интересная деталь: в старых переписных книгах XVII века встречаются прозвища «Федянка» и «Федяня» как самостоятельные нецерковные имена. Человек с таким именем мог быть крестьянином, посадским или казаком — фамилия не указывает на дворянское происхождение, а скорее на простонародную среду, где уменьшительные формы были нормой обращения. В отличие от фамилии Федяев (от Федяй — тоже уменьшительное, но с другим суффиксом), Федянкин сохраняет более «ласковый» оттенок, что редкость для фамилий, закреплённых в документах.

Спорных версий у этой фамилии почти нет: корень очевиден, а суффиксальный разбор однозначен. Можно было бы предположить связь с диалектным словом «федянка» (какая-нибудь местная рыба или растение), но ни один словарь русских говоров не фиксирует такого значения. Так что самое правдоподобное объяснение — перед нами типичная «домашняя» фамилия от имени Фёдор, прошедшая через две ступени уменьшения и закрепившаяся в южнорусской традиции.