Фамилия Феколкина — женская форма от Феколкин. В основе лежит редкое русское нецерковное имя или прозвище Феколка. Сразу оговоримся: с Фёклой, Фёклушкой и церковным именем Фёкла (греч. «слава Божья») эта фамилия связана лишь косвенно, и то не напрямую. Уменьшительно-ласкательный суффикс -к- в Феколке указывает на то, что это прозвище — не от крестильного имени, а от глагола или существительного, которое в современном языке почти исчезло.

Самая правдоподобная версия: корень «фекол-» восходит к диалектному слову «фекол» или «феколить» — в рязанских, тамбовских и владимирских говорах так называли человека, который делает что-то небрежно, кое-как, «фекалит» (ср. «фекалить» — пачкать, портить). Прозвище Феколка могли дать неаккуратному работнику, неряхе или, наоборот, в ироничном смысле — неумехе, который вечно всё портит. Вторая, менее вероятная версия: от «фекать» — издавать звук, фыркать; тогда прозвище могло закрепиться за ворчливым или сопящим человеком.

Модель образования типична для северных и центральных русских регионов: основа на -а/-я плюс суффикс -ин. Феколкин — буквально «сын Феколки», то есть потомок человека по прозвищу Феколка. В XIX веке фамилия фиксировалась преимущественно в Тверской, Ярославской и Костромской губерниях — там, где диалектная лексика с корнем «фекол-» бытовала особенно плотно. Встречаются также варианты написания Феколкин/Феколкина, но без буквы «ё» — это не ошибка, а историческая особенность: в документах часто писали «е» под ударением.

Среди однокоренных фамилий — Феколов, Феколкин (с другим суффиксом) и редкая Феколков. Все они образованы от одной основы, но Феколкина — самая распространённая форма: суффикс -ин указывает на принадлежность к конкретному роду, а не на место или сословие. Дворянской эта фамилия никогда не была — её носители в подавляющем большинстве крестьяне и мещане, что подтверждается метрическими книгами XIX века.

Если коротко: предки носительницы фамилии Феколкина — скорее всего, крестьяне из Верхневолжья, и прозвище им дали за небрежную работу или за характерный звук. Не самая лестная основа, но в русской ономастике такие «бытовые» фамилии — норма: они точнее всего отражают, каким человека видели соседи.