Фамилия Фляшинская — редкий случай, когда женская форма не просто вариант мужской, а, скорее всего, исходная. В русской традиции фамилии на -ский/-ская чаще всего были дворянскими или польскими по происхождению, но Фляшинская звучит иначе. Её основа — не географическое название (как в типичных «Тверской» или «Московский»), а прозвище или профессия.

Корень «фляш-» ведёт к слову «фляга» — ёмкость для жидкости, походная посуда. В старину «флягой» или «фляшкой» могли назвать бондаря, который делал такие сосуды, либо торговца, разносившего воду или вино во флягах. В некоторых говорах «фляш» — это ещё и неуклюжий, полный человек, сравнимый с бочонком. Так что предок Фляшинских мог быть ремесленником, мелким купцом или просто обладателем характерной внешности.

Суффикс -инск(ая) указывает на принадлежность: «дочь или жена Фляши». Сама форма Фляша — это краткое, уменьшительное прозвище от «Фляга». Модель образования проста: к прозвищу добавили притяжательный суффикс -ин-, а затем топонимический -ск-, который закрепил фамилию. В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые возникали у крестьян массово, -ский чаще встречался у духовенства или мещан, но в данном случае, вероятно, это просто результат канцелярской записи: писарь оформил прозвище по образцу польских фамилий, которые были в ходу на западе России.

Географически фамилия тяготеет к западным областям: Беларусь, Смоленщина, Псковщина. Там «фляга» в значении «бутылка» — обычное слово, а суффикс -ская — норма для местных фамилий. Встречаемость крайне низкая: в современных базах данных числится не более пары десятков носителей, в основном в России и Беларуси. Ударение, судя по произношению, падает на второй слог: Фля́шинская.

Мужской вариант — Фляшинский — существует, но встречается ещё реже. Если ваша фамилия Фляшинская, скорее всего, вы потомок человека, которого в деревне звали «Фляша» — либо за его бондарное ремесло, либо за круглую фигуру. Никакого знатного рода за ней не стоит, но в этом и ценность: она прямо говорит о занятии или облике предка, без вымысла.