Фамилия Фляшко — это графический вариант фамилии Фляжко, и обе они восходят к одному прозвищу — Фляжка или Фляга. В старину флягой называли не только плоский дорожный сосуд для питья, но и любую бутылку, склянку или баклажку. Отсюда и два возможных значения прозвища: либо человек торговал стеклянной и прочей посудой, либо был пристрастен к фляжке с хмельными напитками. Второй вариант не стоит воспринимать как осуждение — в старину к любителям выпить относились снисходительно, и такое прозвище могло закрепиться без негативного оттенка.

Суффикс -ко в фамилии Фляшко — верный признак украинского влияния. Подобные формы с уменьшительным или фамильярным оттенком типичны для украинской ономастики, где они легко становились наследственными. Само написание через «ш» вместо «ж» — результат народной этимологии или особенностей местного произношения: звук [ж] перед глухим [к] в некоторых говорах оглушался, и фамилия закреплялась в форме Фляшко.

Прозвище Фляжка, изначально присоединённое к наследственному имени, со временем полностью заменило его — и в быту, и в официальных документах. Так что предки носителей фамилии Фляшко, скорее всего, жили на украинских землях или в южнорусских регионах, где такие словообразовательные модели были обычны. Точных сведений о сословии или конкретных носителях фамилии нет, но по типу образования она относится к древнему пласту прозвищных фамилий, возникших не от имени, а от бытового слова.