Фамилия Фоконкина — женская форма фамилии Фоконкин, а та, в свою очередь, образована от прозвища Фоконка или Фоконок. Слово «фокон» или «фоконка» в русских говорах не имеет широкого распространения, и корень здесь, скорее всего, не славянский, а заимствованный. Самая правдоподобная версия связывает эту фамилию с французским словом faucon — «сокол». В XVIII–XIX веках в Россию приезжало много французских мастеров, гувернёров и военных, и их фамилии или прозвища нередко русифицировались. Прозвище Фоконка могли дать человеку, который служил сокольничим, держал охотничьих птиц или просто обладал острым зрением и быстрым нравом — качествами, которые в народе сравнивали с соколом.

Суффикс «-к-» в основе (Фоконка) указывает на уменьшительно-ласкательную или бытовую форму прозвища, а фамильный суффикс «-ин» — на принадлежность: «чей?» — Фоконкин, то есть сын или потомок Фоконки. Такая модель типична для русских фамилий, образованных от прозвищ на -а, -я. Встречается и вариант написания с буквой «а» на конце (Фоконкина) — это нормальное окончание женской формы.

Географически фамилия Фоконкина редкая. По данным современных телефонных справочников и архивов ЗАГС, её носители сосредоточены в основном в центральных областях России, особенно в Московской и Владимирской областях, а также в Поволжье. Встречаемость низкая, что говорит о том, что фамилия не получила массового распространения и, вероятно, восходит к одному или нескольким локальным родам.

Менее вероятная, но не исключённая версия — связь с диалектным словом «фокать» (кричать, громко звать). В этом случае Фоконка могло быть прозвищем крикливого человека. Однако французское происхождение выглядит более убедительным, учитывая, что фамилии на «-он» и «-ок» в русском языке часто образовывались именно от заимствованных корней (ср. Панкин, Фонтонкин).