Фамилия Фоканкина — женская форма фамилии Фоканкин, и её разбор стоит начать с необычного суффикса. В русских фамилиях чаще встречаются -ов/-ев, -ин, -ский, а здесь мы видим редкий суффикс -кин. Он характерен для северных и северо-восточных регионов России (Вологодская, Архангельская, Вятская губернии), где в быту использовали краткие притяжательные формы от имён и прозвищ с уменьшительным оттенком. Фоканкин — буквально «сын Фокана» или «человек из рода Фокана».

Основа фамилии — имя Фокан, которое представляет собой народную, разговорную форму канонического крестильного имени Фока. Имя Фока имеет греческие корни (phōkē — «тюлень») и в святцах связано с несколькими раннехристианскими святыми, в том числе с мучеником Фокой, садовником из Синопа. В русской традиции имя Фока было нередким в крестьянской среде, особенно на Русском Севере и в Поволжье, но со временем вышло из активного употребления. От него пошли и другие фамилии: Фокин, Фоков, Фоканов.

Интересно, что в некоторых говорах «фокан» могло стать и прозвищем — так называли человека с круглым лицом, полного или медлительного, по ассоциации с тюленем. Однако первичная версия, через крестильное имя, выглядит надёжнее: в документах XVI–XVII веков нередко встречаются крестьяне и посадские люди Фокан, Фоканко, а затем и их дети, записанные как Фоканкины.

Таким образом, предок носительницы фамилии Фоканкина — человек по имени Фокан, живший, скорее всего, на севере или северо-востоке России. Фамилия недворянская, исконно крестьянская или посадская, и её редкость объясняется как выходом исходного имени из обихода, так и локальным характером суффикса -кин.