Фамилия Фостаковская — почти наверняка польского или западнорусского происхождения, с характерным суффиксом -ская. Такое окончание в женском роде (а Фостаковская — это именно женская форма) указывает на то, что исходная мужская фамилия была Фостаковский. В славянской ономастике фамилии на -ский / -цкий чаще всего образовывались от названий местности — села, усадьбы или местечка. Следовательно, предок носительницы этой фамилии мог владеть или происходить из населённого пункта с корнем Фостак-.

Основа Фостак- звучит нехарактерно для исконно русских имён или прозвищ. Скорее всего, это вариант фамилии, восходящей к немецкому или еврейскому имени Фост (от латинского Faustus — «счастливый, удачливый»). В польско-литовских землях, где веками жили переселенцы из Германии и еврейские общины, такие имена адаптировались в местную топонимику: например, могло существовать село Фостаково или Фостаков, от которого и пошла фамилия. Другая, менее вероятная версия — связь с литовским словом «vostakas» (ручей), но это лишь гипотеза.

По суффиксу -ская можно определить, что фамилия принадлежала к шляхетскому или мещанскому сословию Речи Посполитой. В отличие от крестьянских фамилий на -ов/-ев, -ин, окончание -ский было маркером дворянского или землевладельческого статуса, хотя со временем его перенимали и горожане. Если ваши предки Фостаковские жили на территории современной Беларуси, Украины или восточной Польши, их род, скорее всего, был связан с мелкой шляхтой или зажиточными крестьянами, получившими фамилию по названию хутора.

Написание с буквой «о» в первом слоге — устоявшееся, но в старых документах могли встречаться варианты Фостаковска, Фастаковская, особенно если носители переезжали в Российскую империю и писарь записывал на слух. Географически фамилия редкая: по переписям XIX–XX веков её носители фиксировались в Виленской, Гродненской и Минской губерниях. Сегодня Фостаковская встречается в основном в Беларуси и среди потомков эмигрантов первой волны.

Сравните с однокоренными фамилиями: Фостаков, Фостак, Фостакевич — все они указывают на один корень, но разные модели образования (отчество, топоним, уменьшительная форма). Фостаковская стоит в этом ряду особняком, чётко указывая на географическое происхождение рода. Если вы ищете конкретное место, стоит обратиться к метрическим книгам костёлов и униатских церквей XIX века — именно там чаще всего фиксировали шляхетские фамилии с таким окончанием.