Фамилия Фунбаю — редкая и, на первый взгляд, совершенно нетипичная для русского уха. Её происхождение лежит не в славянском именослове, а на стыке тюркского и, возможно, молдавского влияния. Основа фамилии — прозвище или имя Фунбай, где «фун» восходит к тюркскому слову «фун» или «пон» (хлопок, вата), а «бай» — титул богатого, уважаемого человека, хозяина. Таким образом, Фунбай буквально означает «хлопковый бай», то есть богатый торговец хлопком или владелец хлопковых полей. Такая модель именования характерна для народов Средней Азии, Крыма и Северного Кавказа, где титул «бай» присоединяли к названию ремесла или товара.

Словообразовательный суффикс в фамилии — «ю» — указывает на нерусскую, скорее всего, молдавскую или румынскую адаптацию. В молдавском языке суффикс «-ю» часто передаёт принадлежность или уменьшительность, но в данном случае он мог появиться при записи фамилии в документах на территории Бессарабии или Приднестровья, где смешались тюркские и романские языки. Это делает фамилию Фунбаю продуктом культурного пограничья: тюркская основа получила молдавское оформление, а затем была русифицирована.

Встречается фамилия в основном на юге России, в Краснодарском крае и Ростовской области, а также в Молдавии. Носителей крайне мало, что говорит о её локальном и, вероятно, относительно позднем закреплении (XIX — начало XX века). Предки носителей фамилии могли быть выходцами из гагаузских или ногайских семей, занимавшимися хлопководством или торговлей на южных рынках Российской империи. Вторая, менее вероятная версия связывает основу с тюркским «фун» в значении «мера веса» (около 400 граммов), тогда Фунбай — прозвище торговца, отпускавшего товар на фунты, но это толкование уступает первому по исторической логике.