Фамилия Гапошкина — женская форма, а мужская — Гапошкин. Она образована по редкой для русских фамилий модели: суффикс -к- в сочетании с -ин. Обычно фамилии на -ин (Пушкин, Репин) строятся прямо от основы, а здесь между корнем и суффиксом вставлен -к-, что характерно скорее для украинской или белорусской традиции. В русском языке такой способ встречается реже и обычно указывает на прозвище, которое уже имело суффикс -к-: Гапошка.

Основа фамилии — Гапош. Это разговорная форма крестильного имени Агапий (от греческого «агапе» — любовь). В народной среде имя Агапий превращалось в Гап, Гапа, Гапон, а от них — в Гапош. Уменьшительно-ласкательный вариант Гапошка и дал фамилию: «чей?» — Гапошкин, то есть сын Гапошки.

Есть и вторая, менее вероятная версия. В южнорусских говорах «гапошка» могло быть прозвищем человека с большими губами или ртом (от диалектного «гапа» — рот, пасть). Но связь с именем Агапий выглядит убедительнее: фамилий от канонических имён через цепочку уменьшительных форм в России подавляющее большинство.

Фамилия редкая и географически привязана к югу России и Украине. В дореволюционных переписях Гапошкины встречаются в Воронежской губернии и на Слобожанщине — в тех краях, где имя Агапий было в ходу, а украинское влияние на словообразование особенно сильно. Сословно носители фамилии — почти наверняка крестьяне или мещане: дворянские роды с таким суффиксом не фиксируются.

Проще говоря: предок нынешних Гапошкиных был человеком по имени или прозвищу Гапошка. Скорее всего, его звали Агапием, а в быту — Гапошкой, и это прозвище закрепилось за его потомками.