Фамилия Гаринкина — женская форма, её мужской вариант — Гаринкин. Это редкая фамилия, и её происхождение не лежит на поверхности, поэтому сразу перейдём к разбору, не тратя время на общие слова.

Основа фамилии — «Гаринк-», что сразу указывает на суффикс -инк-, который в русских фамилиях встречается нечасто. В отличие от стандартного -ин (Гарин — сын Гари), суффикс -инк- часто носил уничижительный или уменьшительный оттенок в прозвищах. Сравните: Гарик — Гаринка (маленький Гарик). То есть Гаринкин — это «сын Гаринки», где Гаринка — не фамилия, а личное прозвище или внутрисемейное имя человека по имени Гаря или Гарик.

Само имя Гаря — это разговорная, сокращённая форма от канонического имени Георгий (через народные варианты Егорий, Егор). В диалектах «Гаря» могло звучать и как «Гарька». Таким образом, цепочка проста: Георгий → Гаря → Гаринка (уменьшительное) → Гаринкин (потомок Гаринки).

Есть и вторая, менее вероятная, но возможная версия. В некоторых южнорусских и украинских говорах «гара» или «гарь» означала выжженное место в лесу, лесной пожар. Человек мог получить прозвище Гаринка за связь с таким местом (жил на гари, выжигал уголь). Однако эта версия слабее, потому что фамилия образована не от «гар-» (с ударением на корень), а от «Гаринк-», что указывает на личное имя, а не на топографический объект. Ономастический словарь Веселовского фиксирует прозвища типа Гаря, Гарик именно как производные от Георгия, что делает первую версию основной.

Географически фамилия Гаринкины встречается очень локально, преимущественно в центральных областях России (Тверская, Московская, Владимирская области). Это типичная «деревенская» фамилия, которая сформировалась в среде крестьян или посадских людей, где редко использовали полные имена, а обходились домашними прозвищами. Дворянской эта фамилия никогда не была.

Итог прост: Гаринкина — это «внучка» или «дочь» человека, которого в семье звали ласково Гаринка, а по-взрослому — Гаря, то есть Георгий. Фамилия редкая, но её корень — одно из самых распространённых на Руси имён.