Фамилия Гарионова — редкий случай, когда в основе лежит не каноническое имя, а его народная, «обкатанная» бытовой речью форма. Корень здесь — Гарион, вариант крестильного имени Харитон. В русских говорах начальное «х» часто отпадало или заменялось на «г»: так Харитон превращался в Гаритона, а в просторечии — в Гариона. Ударение в фамилии, скорее всего, падает на второй слог: Гарио́нова.

Модель образования типична для русских фамилий: суффикс -ов присоединяется к основе, указывая на принадлежность. Гарионова — буквально «дочь (или жена) Гариона». Это отчество в третьем поколении, застывшее в фамилии. Само имя Харитон (от греческого «харис» — милость, благодать) означает «щедрый», «милостивый», так что предок носителя фамилии мог получить имя в честь святого, а в быту его звали сокращённо — Гарион.

Географически фамилия тяготеет к южнорусским и поволжским областям, где аканье и замена «х» на «г» были особенно сильны. Встречается она редко, что неудивительно: форма Гарион не была распространённой даже на фоне других производных от Харитона (Харитонов, Харитошин). Если ваш предок был Гарионовым, он почти наверняка происходил из крестьянской или мещанской среды — дворянские фамилии редко образовывались от таких просторечных вариантов.

Обратите внимание на написание: в дореволюционных документах фамилию могли записать и как Гарионов, и как Горионов (под влиянием «окающих» говоров), и даже как Харионов — если писарь решил «исправить» народную форму на книжную. Это стоит учитывать при поиске в архивах.