Фамилия Гаршков — это не самостоятельное образование, а фонетический вариант распространенной фамилии Горшков. Переход «о» в «а» (аканье) — типичное явление для южнорусских и среднерусских говоров, где безударное «о» произносится как «а». Именно так, на слух, и записывали фамилию в документах: не Горшков, а Гаршков. Поэтому искать корни стоит в той же основе, что и у Горшковых.

Основа фамилии — прозвище Горшок. В словаре Владимира Даля «горшок» — это округлый глиняный сосуд, обожженный на огне. Прозвище могли дать по профессии: гончару или торговцу глиняной посудой. Но не только. Горшком в деревнях могли назвать человека за плотное телосложение, круглую голову или даже за привычку носить шапку «горшком» — то есть колпаком. Так что предок носителя фамилии Гаршков мог быть и ремесленником, и просто человеком с приметной внешностью.

По модели образования фамилия типична для восточнославянской ономастики: суффикс -ов указывает на принадлежность («чей?» — Гаршков, то есть сын Гаршка). В разговорной речи прозвище Горшок могло звучать как Гаршок (с тем же аканьем), отсюда и форма Гаршков, а не Горшков. В официальных переписях XIX века такие варианты не считались ошибкой — их фиксировали так, как произносили.

В отличие от Горшковых, которые встречаются повсеместно, фамилия Гаршков более редкая и территориально привязана к регионам с акающим говором: юг России, Поволжье, отчасти Украина. Встретить её можно в старых метрических книгах Курской, Тамбовской, Воронежской губерний. Если ваш предок носил фамилию Гаршков, он почти наверняка происходил из этих краёв.

Таким образом, фамилия Гаршков — не искажение и не ошибка, а живое свидетельство народного произношения. Её носитель — потомок человека, которого в округе знали как Горшка (или Гаршка): гончара, торговца или просто коренастого мужика.