Фамилия Гасои — редкая и, скорее всего, не русская по происхождению. Её форма не вписывается в типичные славянские модели: нет суффиксов -ов, -ин, -ский, которые превращают имя или прозвище в наследственное имя. Окончание на -и наводит на мысль о грузинских или, реже, греческих корнях. В грузинском языке фамилии на -и (Гагои, Гасои) встречаются, особенно в западных регионах, и часто образованы от личных имён или прозвищ. Основа «Гас-» может восходить к имени Гаса (Гассан) — арабского происхождения, означающего «красивый», «хороший», или к грузинскому слову «гасо» (нечто вроде «светлый», «ясный»), хотя точное значение без дополнительных данных установить сложно.

Версия о греческом происхождении тоже имеет право на существование. В греческом языке фамилии на -ои (например, Пападопулои) — это архаичная форма множественного числа или родительного падежа, указывающая на принадлежность к роду. «Гасои» могло означать «из рода Гаса». Однако такая форма в современной греческой ономастике встречается редко и чаще фиксируется у понтийских греков, которые долго жили в изоляции и сохраняли старые модели словообразования.

Скорее всего, фамилия Гасои — это указание на предка по имени Гас (или Гаса). В среде, где фамилию давали по отцу или деду (патроним), она закрепилась в неизменной форме. Географически носителей фамилии можно встретить на Кавказе (Грузия, Абхазия) и в среде потомков греческих переселенцев на юге России и Украины. В русских документах фамилия могла не склоняться или склоняться с трудом, что тоже подтверждает её иноязычное происхождение.

Если ваши предки носили фамилию Гасои, стоит искать их в метрических книгах греческих или грузинских приходов XIX века. Других версий, например о тюркском или иранском корне, нет убедительных подтверждений — слово «гас» в этих языках не даёт прямых параллелей с фамильным суффиксом.