Фамилия Гавжеева — женская форма фамилии Гавжеев, и её происхождение связано с прозвищем или именем, которое сейчас почти не встречается. Основа фамилии — «Гавжей» или «Гавжа». Скорее всего, это диалектное или просторечное производное от имени Гавриил. В русской народной традиции имя Гавриил сокращали до Гаврила, а затем, в бытовой речи, до таких форм, как Гавша, Гавжа. В некоторых говорах могли добавлять суффикс -ей, образуя прозвище Гавжей — что-то вроде «тот, кто похож на Гаврилу» или «маленький Гаврила». Суффикс -еев (в фамилии Гавжеев) указывает на принадлежность: «сын Гавжея».

Менее вероятная, но возможная версия — связь с диалектным словом «гавжа» или «гавжить», которое в некоторых областях означало «вялый, медлительный человек» или «болтун, пустомеля». Тогда фамилия могла закрепиться за человеком с таким характером. Однако, учитывая распространённость имени Гавриил в крестьянской среде, первая версия выглядит убедительнее.

Фамилия довольно редкая. Географически она могла возникнуть в центральных или южнорусских регионах, где были распространены «окающие» говоры и формы имени на -ей. В документах XIX — начала XX века Гавжеевы встречаются, например, среди крестьян Воронежской и Курской губерний. Суффикс -ев, а не -ов, указывает на то, что основа оканчивалась на мягкий согласный или й («Гавжей»). Это типичная модель для фамилий, образованных от прозвищ с уменьшительными или ласкательными суффиксами.

Сейчас фамилия Гавжеева может быть записана с разным ударением, но исторически ударение, скорее всего, падало на второй слог — ГавжЕева, как и в большинстве фамилий на -еев. Если у вас есть семейные предания о происхождении, они могут дать ключ к конкретной ветви, но в целом фамилия прочно стоит в ряду «именных» русских фамилий, образованных от народных форм канонических имён.