Фамилия Гайлиуниене — это литовская фамилия, которая досталась её носительнице по женской линии. Начать стоит с того, что окончание «-ене» в литовском языке — типичный маркер замужней женщины: оно присоединяется к фамилии мужа или отца. Перед нами не исходная фамилия, а её «замужняя» форма. Основа же — Гайлиунис (Gailiūnis) или Гайлис (Gailis), от которой и образовано женское Гайлиуниене.

Само прозвище Гайлис, по наиболее распространённой версии, восходит к литовскому gailis — «багульник». Багульник — растение из семейства вересковых, известное тем, что с давних пор его использовали при обработке кож. Поэтому первая и самая логичная гипотеза относит прозвище к профессиональным: предок носителя фамилии мог быть кожевником. Такое именование давали по ремеслу, которое было заметно в быту.

Есть и другие версии. Например, связь с литовским глаголом gailėti — «жалеть». В этом случае прозвище могло указывать на отзывчивого, сострадательного человека. Третья, менее вероятная, но упоминаемая в ономастике гипотеза — от прусского gaylis, что значит «белый». Тогда прозвище могли дать человеку с очень светлыми волосами или кожей. Из всех трёх версий первая, «кожевенная», кажется наиболее правдоподобной, поскольку она связывает прозвище с конкретным занятием, а не с абстрактным качеством или цветом.

Коротко: фамилия Гайлиуниене — литовская, женская, образованная от мужской Гайлиунис (или Гайлис). Её основа, скорее всего, указывает на предка-кожевника, который работал с багульником.