Фамилия Гайжеман — редкий пример, в котором немецкая основа соединилась с русским суффиксом, но не по самой распространенной модели. Скорее всего, перед нами фамилия, которую в XIX — начале XX века получил или взял житель Российской империи, чей предок был выходцем из немецкоязычных земель. Разберем её по частям.

Корень «Гайж» — это русская адаптация немецкой фамилии или прозвища. Вероятнее всего, в основе лежит немецкое слово «Geiß» (коза) или фамилия Geiß, Geißmann. В немецком языке фамилия Geißmann означала либо «козий пастух», либо человека с упрямым, «козлиным» характером. При переходе в русскую среду звук «с» (в слове Geiß) мог перейти в «ж» под влиянием произношения или местных говоров: Geiß → Гайж. Второй вариант — искажение фамилии Heizmann (от Heiz — «огонь, топка»), но он менее вероятен, так как начальное «Г» в русской записи для немецкого «H» — обычное дело, а вот переход «ц» в «ж» встречается реже.

Вторая часть — «-ман» — это не суффикс, а часть исходной немецкой фамилии Mann (человек). В русской среде её могли осознавать как окончание, но по сути это полное заимствование. Фамилия не получила типичных русских суффиксов (-ов, -ин, -ский), что типично для поздних переселенцев или для семей, которые долго сохраняли обособленность в колониях.

Географически фамилия Гайжеман почти наверняка связана с Поволжьем, Причерноморьем или Закавказьем — регионами, куда в XVIII–XIX веках массово приглашали немецких колонистов. В метрических книгах лютеранских приходов (например, в Самарской или Саратовской губерниях) можно было бы найти исходную форму Geißmann, которая позже превратилась в Гайжеман при записи в русские документы. Если фамилия встречается сегодня, её носители — потомки тех самых колонистов, утратившие язык, но сохранившие фамилию в русифицированном виде.

Таким образом, Гайжеман — это не прозвище, данное русским крестьянином, а адаптированная немецкая фамилия, означавшая «козий пастух» или «человек с козлиным нравом». Её редкость объясняется тем, что исходная форма Geißmann и сама не была массовой, а процесс русификации затронул лишь часть семей.