Фамилия Газейкина — женская форма, мужской вариант — Газейкин. Она строится по очень простой и распространённой в русской ономастике модели: суффикс -ин, который указывает на принадлежность. Буквально: «чей?» — Газейкина, то есть дочь или жена человека по прозвищу Газейка. Вся загадка фамилии, таким образом, упирается в основу — слово «газейка». В русских говорах и диалектах такого слова нет. Скорее всего, это не исконная русская основа, а адаптированное заимствование.

Наиболее вероятная версия связывает фамилию с тюркским или арабским именем Гази (Газы). В исламской традиции «гази» — это воин, участник похода за веру, победитель. Имя было широко распространено у татар, башкир и других народов Поволжья и Приуралья. В русской среде это имя могли переделать на свой лад, добавив уменьшительно-ласкательный суффикс -ейк- (как в фамилиях Алейкин от Алей, Мамлейкин от Мамлей). Так Гази превращался в Газейку — человека, которого в семье или в деревне звали ласково, по-свойски, с отсылкой к его имени. Фамилия Газейкин тогда означает «потомок Газейки», то есть человека, носившего имя Гази.

Вторая версия, менее вероятная, но тоже возможная — связь с диалектным словом «газ» или «газа». В некоторых южнорусских говорах «газа» — это грязь, слякоть, топкое место. Прозвище Газейка могли дать человеку, который жил у болота, часто пачкался или работал в грязи. Однако суффикс -ейк- в этом случае выглядит необычно: для прозвищ от нарицательных слов чаще использовали -к- (Грязка, Топка). Поэтому версия с личным именем Гази выглядит убедительнее.

Фамилия редкая. Встречается она преимущественно в центральной России и Поволжье, что косвенно подтверждает её вероятное тюркское происхождение. Носители фамилии, скорее всего, были крестьянами или мещанами — в дворянских родословных книгах Газейкины не фигурируют. Фамилия не меняла написания, не путалась с Газеевыми или Газиевыми, что говорит о её позднем и локальном закреплении, возможно, уже в XVIII–XIX веках, когда фамилии окончательно оформились у податных сословий.