Фамилия Гажарыга — редкая и звонкая, и её происхождение сразу бросается в глаза благодаря необычному окончанию. В русской ономастике суффикс -ыга встречается нечасто, но он очень характерен для прозвищ, образованных от глаголов. Он придаёт слову оттенок действия, часто — энергичного, резкого или даже грубоватого. Сравните: «растеряга» (тот, кто всё теряет), «гуляка» (от «гулять»), «разиня» (от «разевать»). По этой модели построена и фамилия Гажарыга. Её основа — «гажарить».

Что значит «гажарить»? В южнорусских и украинских говорах этот глагол означает «пачкать, марать, гадить». Человек, которого прозвали Гажарыга, скорее всего, получил это имя за неопрятность, нечистоплотность или за то, что постоянно оставлял после себя беспорядок. Это не обязательно было оскорблением в современном смысле — в крестьянской среде прозвища давали по самой заметной черте характера или поведения, и они легко закреплялись как фамилии.

Фамилия явно несёт на себе печать украинского или южнорусского происхождения. Во-первых, глагол «гажати» (пачкать) широко распространён именно в украинском языке. Во-вторых, суффикс -ыга в фамилиях чаще встречается на землях бывшей Гетманщины и Слобожанщины. Если искать географическую привязку, наиболее вероятны Черниговская, Полтавская, Харьковская области, а также прилегающие районы России (Белгородчина, Курщина). Там же можно встретить и однокоренные фамилии — Гажа, Гаженко, Гажанов.

Интересная деталь: по правилам русской орфографии после шипящих под ударением пишется «ы» (Гажарыга), а не «и». Это написание закрепилось в паспортах, но в быту фамилия могла произноситься и как «Гажарига». Такая вариативность — обычное дело для фамилий, записанных «на слух» в XIX веке при переписях.

Сословно, скорее всего, это фамилия крестьянская или казацкая. Дворянских родов с такой фамилией нет, что подтверждает её народное, прозвищное происхождение. Носитель фамилии Гажарыга, вероятно, был человеком прямым, нецеремонным — прозвище не скрывало недостатка, а называло вещи своими именами. Со временем первоначальный смысл стёрся, и фамилия стала просто родовым именем, но её яркая, «действенная» форма до сих пор выделяет её среди типичных «-ов» и «-ин».