Фамилия Гажа — редкий случай, где на первый план выходит не имя, а ремесло. Самая правдоподобная версия связывает её с прозвищем Гажа, которое дали строителю или зодчему. В основе лежит нарицательное слово «гажа» — так в некоторых русских говорах называли рыхлые отложения озёрно-болотных водоёмов. Этот ил, сапропель, использовали в строительстве: его добывали, сушили и применяли как связующий материал или для утепления стен. Человек, работавший с гажей, получал прозвище по материалу, а его потомки — фамилию Гажа.

Существует и альтернативная версия, выводящая фамилию из тюркских языков. Якобы она восходит к мужскому имени Гаджа, которое с древнеиранского переводится как «господин» или «наставник». Чередование «ж» и «дж» в таком случае объясняется особенностями тюркского произношения. Однако эта гипотеза выглядит менее убедительной: фамилия Гажа встречается в первую очередь в русских регионах, где строительный термин «гажа» был хорошо известен, а тюркские корни для неё нехарактерны.

Написание фамилии — Гажа — указывает на её происхождение из среды, где суффиксы -ов/-ев или -ин ещё не добавили, а закрепили прозвище в чистом виде. Такая модель встречается реже, чем патронимические фамилии, и обычно говорит о более позднем оформлении или о том, что прозвище успело стать фамилией без дополнительных формантов. Однокоренных фамилий немного, что подчёркивает локальный, профессиональный характер исходного слова.