Фамилия Газуй — редкий случай, когда прозвище почти без изменений перешло в фамилию. В ней нет типичных фамильных суффиксов -ов, -ин или -ский. Это так называемая «застывшая» форма повелительного наклонения глагола. Перед нами команда «газуй!» — то есть «жми на газ, прибавляй скорость». Такие фамилии-императивы в русском языке встречаются, но нечасто: вспомните Тяни, Хватай, Бей. Они обычно возникали в среде, где прозвище давалось за манеру поведения или речи — человека могли так окрестить за торопливость, резкость или любовь к быстрой езде.

Если копнуть глубже, корень «газ» в русском языке — заимствование из латыни (chaos) или греческого, но в значении «топливо» и «педаль газа» слово вошло в обиход только в XX веке, с распространением автомобилей. Значит, фамилия Газуй не может быть древней. Она возникла не раньше 1920–1930-х годов, когда автомобили стали частью городской жизни, а «газовать» — понятным действием. До этого у слова «газ» было другое значение (газ как материя), но глагол «газовать» в смысле «ускорять» появился именно в индустриальную эпоху.

Вероятнее всего, фамилию Газуй дали в советское время, возможно, в рабочей или шоферской среде. Человек мог получить такое прозвище за манеру вождения — лихач, который любил жать на газ. Либо это была ироничная кличка для медлительного или, наоборот, нетерпеливого человека. В послевоенные годы, когда паспортная система стала строже, многие прозвища закреплялись в документах как фамилии. Встретить Газуя можно скорее в городской среде, чем в деревне, и фамилия эта чрезвычайно редкая.

Других версий, вроде связи с тюркскими корнями или древнерусским «газ» (как ткань), почти нет: слово «газуй» слишком однозначно отсылает к автомобильному газу. Это молодая, «советская» фамилия, которая ярко характеризует эпоху технического прогресса и живого народного словотворчества.