Фамилия Гфйдамака — редчайший случай в русской ономастике, и её происхождение почти наверняка связано не с исконно русским словом, а с искажением при записи или с иноязычным корнем. Первое, что бросается в глаза, — нехарактерное для славянских фамилий скопление согласных «Гфйд» в начале. В русском языке нет корней с таким звукосочетанием; это либо опечатка (например, при переписи или в паспортном столе), либо фонетическая передача нерусского слова.

Если отбросить версию случайной ошибки, можно предположить, что основа восходит к украинскому или белорусскому слову «гайдамака» (от тюркского «гайдамак» — «разбойник», «нападающий»). В XVII–XVIII веках так называли участников народных восстаний и повстанческих отрядов на Правобережной Украине. Фамилия Гайдамака (или Гайдамаченко) встречается в южнорусских и украинских регионах. Форма «Гфйдамака» могла возникнуть, если при записи фамилии на слух букву «а» в начале заменили на «ф» (возможно, под влиянием диалектного произношения с придыханием) или если это результат механической опечатки: «Гайдамака» → «Гфйдамака».

Суффикс -ака типичен для прозвищных фамилий украинского и южнорусского ареала (сравните: Забияка, Кривляка, Гуляка). Такие фамилии обычно давали человеку по его поведению или роду занятий: предок мог быть либо гайдамаком в прямом смысле, либо получить прозвище за буйный, «разбойный» нрав.

Сословная принадлежность носителей фамилии не зафиксирована в доступных источниках, но по модели образования (суффикс -ака) и историческому контексту она тяготеет к казачьей или крестьянской среде, а не к дворянству. Если ваша фамилия именно Гфйдамака, а не Гайдамака, стоит проверить документы XIX — начала XX века: в метрических книгах или ревизских сказках могла быть описка, которая затем закрепилась в советских паспортах. В любом случае, это редкая фамилия, и её происхождение стоит искать через географию — в курских, воронежских или харьковских архивах.