Фамилия Годыцкие — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. В отличие от массовых фамилий на -ов, она образована по польско-украинской модели с суффиксом -цк(ие), что сразу указывает на её географическую и социальную привязку: такие фамилии чаще всего получали выходцы из шляхты или зажиточных крестьян, владевших землёй (от названия имения или местечка). В основе, скорее всего, лежит топоним — село или хутор с названием Годыцкое, Годыца или подобное. Корень «год-» в славянских языках многозначен: это и «время, год», и «погода», и «угождение, пригодность». В украинском и польском языках слово «годити» означало «угождать, подходить, ладить», а «годыця» могло быть прозвищем покладистого, удобного в общении человека или того, кто «впору» пришёлся — например, приёмного сына или работника.

Есть и вторая, менее вероятная версия: фамилия могла произойти от крестильного имени Год (сокращённая форма от Годослав или Годомир), которое встречалось у западных славян. Но в таком случае ожидалась бы форма Годовицкие или Годицкие, а здесь ударение и суффикс тяготеют к топонимической модели. Скорее всего, предки Годыцких жили в одном из сёл на территории современной Западной Украины или восточной Польши — например, в Галиции или на Волыни. Там фамилии на -цкий (-ський) были нормой для местной шляхты, но к XIX веку их могли носить и крестьяне, получившие фамилию по названию деревни, где жили.

Окончание -ие (а не -ий) указывает на множественное число: «Годыцкие» — это семья, род. В русской традиции так закрепились фамилии, пришедшие из польского или украинского языков, где форма множественного числа стала фамилией рода. Если ваш предок был Годыцким, он, вероятно, происходил из мелкопоместной шляхты или зажиточных крестьян-однодворцев западных губерний Российской империи. Фамилия не получила широкого распространения — в современных базах она встречается единично, что подтверждает её локальный, а не массовый характер.