Фамилия Гогелидзе — одна из тех, где разбор упирается не в корень, а в суффикс. Если смотреть на основу «Гогел-», она почти наверняка восходит к грузинскому имени или прозвищу Гогела, которое, в свою очередь, связано с «гого» — в грузинском языке это ласковое обращение к ребенку, мальчику, а в некоторых диалектах — «молодой», «юный». Прямой аналог — русское прозвище Малыш или Молодой. Менее вероятно, но не исключено, что корень восходит к тюркскому «гогель» (голубой, синий), но для фамилии, оформленной грузинским патронимическим суффиксом, первая версия естественнее.

Ключевая деталь — суффикс «-идзе». В грузинской ономастике это один из древнейших показателей происхождения, буквально означающий «сын». Фамилии на «-идзе» особенно характерны для Западной Грузии, исторической Имеретии, Гурии, Аджарии. В отличие от восточногрузинского «-швили» (тоже «дитя»), «-идзе» считался более аристократичным и часто встречался у княжеских и дворянских родов, хотя со временем стал массовым. Таким образом, Гогелидзе — это «сын Гогелы», то есть потомок человека, которого в детстве или по характеру называли малышом.

Социальный контекст: в XIX веке в Российской империи, куда входила Грузия, фамилии на «-идзе» фиксировались у всех сословий — от крестьян до князей. Конкретно Гогелидзе не принадлежат к числу титулованных родов, известных по родословным книгам, но это не говорит о низком происхождении: многие крестьянские ветви просто не попали в дворянские списки. В советское время фамилия оставалась распространенной в Грузии, а после миграций встречается в России, Украине и среди грузинской диаспоры в Европе.

Сравните с однокоренными: Гогеладзе (с тем же значением, но с другим суффиксом), Гогоберидзе (где «гого» — уже «девушка»). Спорных версий тут практически нет — корень прозрачный, а суффикс типичный. Единственная тонкость: иногда фамилию путают с Гогелия (без «-дзе»), но это другая модель образования, характерная для Мегрелии.