Фамилия Гоцко-Бега — двойная, и её части стоит разбирать по отдельности, поскольку у них разная природа и география.

Первая часть, Гоцко, — украинская по происхождению. Она образована от прозвища Гоцка, которое, в свою очередь, связано с глаголом «гоцкать». В южнорусских и украинских говорах это значит «танцевать вприсядку», «отплясывать». Есть и однокоренное слово «гоцак» — так называли разновидность гопака, быстрый и задорный танец. Прозвище Гоцка, скорее всего, закрепилось за человеком, который лихо отплясывал, был заводилой на гуляньях или просто славился удалью в пляске. Суффикс -к- в основе типичен для украинских прозвищных форм, а фамильный суффикс -о характерен для западных и центральных областей Украины.

Вторая часть — Бега. Здесь этимология менее очевидна, и есть две основные версии. Первая, более правдоподобная, выводит фамилию из итальянского слова bega — «спор, ссора; неприятность, хлопоты». В этом случае прозвище Бега мог получить человек сварливый, неуживчивый или, наоборот, тот, кто постоянно ввязывался в тяжбы и разбирательства. В пользу итальянского корня говорит то, что двойные фамилии с иноязычным компонентом встречаются в южных регионах бывшей Российской империи, в частности у потомков выходцев из Италии, работавших в Одессе, Крыму или на Кавказе.

Вторая версия связывает Бега с русским глаголом «бегать». Тогда это усечённая форма от прозвища Бегай. Такое прозвище мог получить быстроногий человек — гонец, посыльный, скороход. Или же, напротив, человек суетливый, неусидчивый, который всё делал на бегу, неаккуратно. Однако эта версия менее убедительна: прозвища, образованные от чистого глагольного корня без суффикса, для восточнославянской традиции нетипичны, тогда как итальянское bega даёт готовую и естественную основу.

Таким образом, фамилия Гоцко-Бега — это соединение двух разных по происхождению прозвищ: украинского, данного за плясовую удаль, и итальянского, описывающего характер или жизненные обстоятельства. Такое сочетание указывает на то, что предки носителя этой фамилии жили на стыке культур — скорее всего, на юге Украины или в Новороссии, где смешивались местные славянские традиции и пришлые европейские влияния.