Фамилия Григайтес сразу обращает на себя внимание суффиксом -айтис (в русской передаче -айт(е)с). Это не русская и не славянская модель, а типичный литовский патронимический суффикс -aitis. В Литве такие фамилии указывали на происхождение от отца: буквально Григайтис — «сын Григаса». Основа Григас — это литовская форма греческого имени Григорий (Grigalius), означающего «бодрствующий», «неспящий». Так что перед нами чистая патронимическая фамилия, каких много в литовском ономастиконе.

Поскольку фамилия оканчивается на -тес, а не на -тис, перед нами, скорее всего, русифицированный или адаптированный вариант. В литовском языке мужские фамилии в именительном падеже имеют окончание -is, но при записи в российских документах XIX–XX веков нередко добавляли русское окончание -ов или просто меняли написание на более привычное. Здесь, вероятно, произошла фонетическая адаптация: -aitis превратилось в -айт(е)с, а конечное -с осталось как дань литовскому происхождению. Встречается также вариант Григайтис, который ближе к оригиналу.

Географически фамилия Григайтес (и её варианты) концентрируется на территории бывшей Литвы, а также в приграничных районах Беларуси и Польши, где исторически жили литовцы. В России она редка и обычно указывает на литовские корни предков. Социально носители такой фамилии в XIX веке принадлежали к крестьянскому или мещанскому сословию, реже — к мелкопоместной шляхте (в Великом княжестве Литовском многие литовские крестьяне получали фамилии по отцу именно по такой модели).

С точки зрения словообразования интересно, что в литовском языке фамилии на -aitis — одни из самых древних и массовых. Они конкурировали с формами на -ūnas, -onis, но именно -aitis стал основным маркером патронимии. В русском контексте фамилия Григайтес стоит особняком: она не вписывается ни в одну из типичных славянских моделей (-ов, -ев, -ин), что сразу выделяет её как балтийскую. Если сравнивать с однокоренными русскими фамилиями (Григорьев, Гришаев), то Григайтес — более архаичный и прямой потомок имени, без промежуточных суффиксов уменьшительности.

Коротко: фамилия Григайтес — литовская по происхождению, означает «сын Григаса» (то есть сын Григория). Возникла в среде литовского крестьянства, а в русском языке закрепилась в адаптированной форме.