Фамилия Гурмаженко почти наверняка украинская, и её разбор стоит начать с суффикса -енко. В украинской ономастике этот суффикс — главный маркер фамилий, означающих «сын» или «потомок» (как русские -ов/-ев, -ин). Гурмаженко буквально значит «сын Гурмажа» или «маленький Гурмаж».

Основа здесь — Гурмаж. Это слово в украинском языке не встречается в качестве нарицательного (ни как ремесло, ни как животное). Скорее всего, это прозвище, образованное от того же корня, что и диалектное «гурма» — так в некоторых говорах называли грубого, неотёсанного человека или, наоборот, ворчуна. Есть версия, что корень восходит к «гуркотіти» (греметь, грохотать) — прозвище могли дать шумному, громогласному человеку. В любом случае, прозвище описывало черту характера или манеру поведения.

В польском языке существует слово «gurman» (гурман, любитель вкусно поесть), но для украинской фамилии это маловероятный источник. Фамилии на -енко с корнем «гурман-» (Гурманенко) встречаются, но Гурмаженко отличается твёрдым «ж» — это указывает на древнюю славянскую основу, а не на заимствование из французского через польский.

Географически фамилия тяготеет к центральным и восточным областям Украины (Черкасская, Полтавская, Днепропетровская области), где суффикс -енко особенно распространён. Встречается она нечасто, что говорит о локальном происхождении: прозвище Гурмаж, очевидно, не было массовым, а закрепилось за одним родом в конкретном селе или хуторе.

Сословно носители фамилии Гурмаженко, скорее всего, были казаками или крестьянами. В реестрах Войска Запорожского фамилий на -енко — сотни, и они указывают на свободное, а не крепостное происхождение предка. Фамилия не дворянская (нет суффикса -ский) и не купеческая (те чаще носили фамилии на -ов/-ев). Типичная история: в XVII–XVIII веках некий Гурмаж получил прозвище, а его дети и внуки стали писаться Гурмаженко.