Фамилия Идзиковский — редкий пример того, как суффикс и основа вместе рассказывают о происхождении точнее, чем каждая часть по отдельности. Формант -ский указывает на польскую или западнорусскую модель образования: такую фамилию чаще всего давали по названию местности (усадьбы, села) или как шляхетский вариант, подчёркивающий статус владельца. Но в данном случае основа Идзик- не тянет на топоним — её явно вывели из прозвища.

Самая прямая и правдоподобная версия: прозвище Идзик восходит к украинскому слову дзига — «волчок», детская игрушка, которая крутится на месте. В переносном смысле так могли назвать вертлявого, шустрого, непоседливого ребёнка. Переход дзига → Идзик объясняется просто: в разговорной речи начальный согласный мог озвончиться или, наоборот, оглушиться под влиянием соседних звуков, а потом закрепиться в написании. Словообразовательная цепочка выглядит естественно: прозвище Идзик → притяжательное прилагательное Идзиков (чей сын?) → окончательная фамилия на -ский как знак принадлежности к роду.

Менее убедительная версия выводит основу из еврейского имени Изя — просторечной формы от Израиль или Измаил. Здесь слабое звено — звуковой переход: замена з на дз (Изя → Идзик) нехарактерна для восточнославянской фонетики, хотя теоретически возможна при диалектном произношении. К тому же фамилии на -ский редко образуются от еврейских имён в Польше и на Украине: для этого обычно брали суффикс -ович/-евич или -енко. Так что версия с дзигой выглядит надёжнее.

Географически фамилия тяготеет к западноукраинским землям и бывшим территориям Речи Посполитой. Там суффикс -ский носил не только польские носители, но и украинские крестьяне, получавшие фамилию от помещика или по названию хутора. Однако если бы Идзиковский происходил от реального села Идзики или Идзиково, мы бы знали этот топоним — а он не фиксируется ни в старых, ни в современных справочниках. Значит, перед нами именно «прозвищная» фамилия: её дали по личной черте конкретного человека.

В итоге: предок носителя фамилии Идзиковский — скорее всего, житель Западной Украины или пограничья с Польшей, которого в детстве дразнили Идзиком за юркость и непоседливость. Фамилия закрепилась в форме на -ский либо из желания придать ей «благородное» звучание, либо потому, что так было принято в данной местности. Других версий, подкреплённых источниками, пока нет — и это нормально для редкой фамилии, не попавшей в крупные ономастические словари.