Фамилия Иёнкин — редкий случай, когда написание подсказывает произношение, а оно, в свою очередь, ведёт к корню. Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Иёнкин. Буква «ё» здесь не случайна и не факультативна — она указывает, что звук был именно [йо], а не [е]. Это ключ к разгадке.

В основе фамилии лежит просторечная или диалектная форма имени или прозвища. Самая вероятная версия — происхождение от имени Иона (древнееврейское «голубь»). В народной речи имя Иона нередко звучало как Иён: стяжение гласных и замена «о» на «ё» под ударением — естественный процесс для русских говоров. От формы Иён с помощью притяжательного суффикса -к- (указывающего на принадлежность: «чей?» — Иёнкин) и образовалась фамилия. Суффикс -ин стандартно добавляется к основам на согласный, так что модель «Иён + к(а) + ин» дала Иёнкин.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с глаголом «икать» или «икнуть» (издавать звук икоты). В этом случае прозвище Иёна (через «ё» из «ик»?) дали бы человеку с заметной икотой. Однако такая словообразовательная цепочка сложнее, а имя Иона — гораздо более частый источник фамилий (вспомним Ионов, Ионин). Поэтому версия с крестильным именем основная.

Фамилия явно недворянская: суффикс -ин и основа на -ка характерны для крестьянской и мещанской среды. Носители фамилии Иёнкин, скорее всего, потомки крестьян или посадских людей из северных или центральных губерний России, где имя Иона было в ходу, а диалектное произношение «Иён» — нормой. Встречаемость фамилии крайне низкая, что делает её хорошим маркёром для генеалогического поиска: если вы Иёнкин, ваша родовая линия, скорее всего, компактно проживала в одном-двух уездах.