Фамилия Инхайсай — редкий случай в русском ономастиконе, и её происхождение почти наверняка не связано со славянскими корнями. Внешний облик фамилии — сочетание «Ин», «хай» и характерный для восточных языков суффикс «-сай» — сразу подсказывает, что перед нами фамилия из Центральной Азии, скорее всего, казахского или тюркского происхождения.

В основе фамилии лежит сложное имя или прозвище. Разберем его по частям. «Ин» может быть вариантом тюркского «ын» (звук, эхо) или китайского заимствования, но чаще встречается как часть личного имени (например, Инкар). «Хай» в тюркских языках означает «гора» или «возвышенность», а также может быть компонентом имени (например, Хайдар). Компонент «-сай» в тюркской ономастике — это типичный формант, указывающий на принадлежность или происхождение, часто встречается в казахских фамилиях (сравните: Абсай, Бексай). Таким образом, Инхайсай можно перевести как «происходящий от Инхая» или «сын Инхая», где Инхай — сложное личное имя, которое могло означать «горный звук» или «эхо горы».

Скорее всего, фамилия образовалась в XIX–XX веках, когда у казахов и других тюркских народов начался процесс закрепления родовых имен в качестве фамилий по русскому образцу. Носитель фамилии Инхайсай — потомок человека по имени Инхай, который, вероятно, жил в горной местности или отличался громким голосом, что и дало ему прозвище. Встретить такую фамилию можно в Казахстане, Киргизии или среди тюркских народов России, а в русской среде она появилась, скорее всего, в результате миграции или смешанных браков.

Иных версий, связывающих фамилию с русскими корнями (например, от слова «хайло» или «инок»), рассматривать не стоит — они натянуты и не подтверждаются ни словообразованием, ни географией бытования. Инхайсай — яркий пример того, как фамилия хранит память о языке и ландшафте предков, даже если её носитель давно живет в другом регионе.