Фамилия Инкижекова — женская форма, а её мужской вариант — Инкижеков. Это редкая фамилия, которая почти наверняка имеет тюркское происхождение, скорее всего, хакасское или шорское. Её основа — слово «инкижек» (или близкое к нему «инкичек»), которое в тюркских языках Южной Сибири означает «маленький», «младший», «мелкий». Речь идёт о прозвище, которое давали младшему ребёнку в семье, невысокому человеку или тому, кто занимал подчинённое положение.

Словообразовательная модель здесь прозрачна: к прозвищу Инкижек (или Инкижек) добавили русский патронимический суффикс -ов, который в Сибири и на Урале массово «пришивали» к местным нерусским именам и прозвищам при переходе на фамилии в XVIII–XIX веках. Суффикс -ин для этой основы был бы грамматически неудобен, поэтому -ов стал естественным выбором. Фамилия закрепилась в форме притяжательного прилагательного: «чей?» — Инкижеков, то есть «сын (или потомок) Инкижека».

Географически фамилия почти не встречается за пределами Хакасии и юга Красноярского края. В метрических книгах и переписях XIX века её носители — почти исключительно коренные жители Минусинского уезда Енисейской губернии, в основном из числа хакасов-сагайцев или кызыльцев. Это значит, что предки современных Инкижековых были скотоводами и охотниками, жившими в аалах, и фамилию они получили уже при крещении или при записи в ревизские сказки.

Интересная деталь: в некоторых сибирских говорах слово «инкижек» могло также означать «заморыш», «хилый» — не в обидном, а скорее в описательном смысле. Поэтому не исключено, что прозвище отражало физические особенности конкретного человека, а не только возраст. Фамилия не имеет отношения к русским корням, и все попытки связать её с «инжиром» или «кексом» — лингвистический курьёз, не выдерживающий критики.