Фамилия Инзаркин — редкая, и её разговор стоит начать не с корня, а с суффикса. Модель на -ин типична для русских фамилий, образованных от основ на -а, -я. Но в данном случае бросается в глаза, что перед суффиксом стоит твёрдый звук [к], а не мягкий. В русском языке фамилии на -кин обычно восходят к именам и прозвищам, оканчивающимся на -ка (Федька — Федькин, Ванька — Ванькин). Значит, основа Инзарк- — это прозвище или имя Инзарка, то есть человек, которого в быту называли ласкательно-уменьшительно.

Теперь к корню «Инзар». Здесь возможны два пути. Первый — географический. На карте России есть река Инзар, правый приток Суры, протекающая в Мордовии и Пензенской области. По её названию стоит город Инсар (с перестановкой звуков «з» и «с» — явление нередкое в топонимике). В таком случае Инзарка — это прозвище человека, пришедшего с берегов Инзара или жившего у этой реки. Второй путь — антропонимический: в основе может лежать дохристианское имя Инзар, которое встречалось у мордвы. В эрзянском языке «инзей» — «ягода», но прямая связь сомнительна, скорее имя могло быть составным, типичным для финно-угорских народов.

Наиболее вероятно, что фамилия Инзаркин имеет мордовские корни. Суффикс -ин в русской адаптации указывает на принадлежность: «чей сын?» — Инзаркин, то есть потомок Инзарки. Учитывая, что в XVIII–XIX веках многие жители Среднего Поволжья получали фамилии по рекам и урочищам, версия с рекой Инзар выглядит крепче. Человек, носивший прозвище Инзарка, мог быть пришлым с этой реки или владеть землёй на её берегах.

Интересно, что фамилия Инзаркин не встречается в массовых списках дворянских родов и не фиксируется в крупных исторических словарях. Это говорит о её позднем оформлении — скорее всего, в середине XIX века, когда крестьянам и однодворцам присваивали фамилии по прозвищам. Географически она тяготеет к Мордовии, Пензенской и Нижегородской областям. Если ваши предки оттуда, то Инзаркин — не случайная фамилия, а прямая привязка к месту, где они жили или откуда пришли.