Фамилия Инжебейкин — редкий случай, когда в основе лежит не имя, не профессия и не географическое название, а, скорее всего, тюркское прозвище с неочевидным значением. Если разобрать её по частям, сразу бросается в глаза нехарактерный для русских фамилий корень «инже-» и суффикс -ейкин, который встречается гораздо реже, чем стандартные -ов или -ин.

Самый вероятный источник — диалектное или старое прозвище Инжебейка. Вторая часть, «-бей» (тюрк. «господин, князь»), указывает на знатное происхождение или уважительное обращение. Первая часть, «инже-», может восходить к тюркскому слову «инджи» (жемчуг) или «инже» (тонкий, изящный). Тогда Инжебей — это «жемчужный господин» или «утончённый князь». Такое прозвище могли дать человеку за красивую одежду, богатство или, наоборот, иронично — за излишнюю щепетильность.

Модель образования фамилии — от прозвища на -ейка с помощью притяжательного суффикса -ин. Сначала появилось прозвище Инжебейка (уменьшительное от Инжебей), затем от него образовалась фамилия Инжебейкин — буквально «сын Инжебейки». Суффикс -ейкин характерен для центральных и южнорусских регионов, особенно для бывшей Тамбовской и Рязанской губерний, где оседали служилые татары и мордва.

В русских документах такие фамилии часто фиксировались у однодворцев — потомков мелких служилых людей, охранявших южные границы Московского государства в XVI–XVII веках. Они носили тюркские прозвища, но уже давно говорили по-русски и были православными. Инжебейкин — не исключение: это не татарская фамилия в современном смысле, а русская по форме, но с тюркским корнем.

Есть и альтернативная, менее вероятная версия: от имени Инжа (краткая форма от Иннокентий или Игнатий) с добавлением суффикса -ейкин, но она плохо объясняет слог «бей» в середине. Поэтому тюркское происхождение остаётся основным. Встречаемость фамилии крайне низкая — несколько десятков носителей, в основном в Поволжье и Черноземье.