Фамилия Ирбеткина — женская форма, мужская — Ирбеткин. В основе фамилии лежит слово, которое сразу отсылает к географии или к личному прозвищу, и здесь есть интрига: корень «ирбет» на слух напоминает название города Ирбит в Свердловской области, но это совпадение, а не прямое родство.

Разбираем словообразовательную модель: суффикс -ин указывает на принадлежность, то есть Ирбеткин — «чей?» — сын или потомок Ирбетки. А само имя или прозвище Ирбетка образовано от тюркского «ирбис» — снежный барс. В тюркских языках (особенно в южносибирских, например, в алтайском или тувинском) «ирбис» звучит как «ирбет» или «ирбит». Так могли прозвать человека — за схожесть с этим зверем: за ловкость, выносливость, особую окраску волос или даже за повадки. Прозвища по диким кошкам — не редкость: вспомните Барсукова, Рысова, но Ирбеткин стоит особняком из-за редкого корня.

Есть и вторая, более прозаичная версия: Ирбетка могло быть уменьшительной формой от крестильного имени, например, от Иродион (в просторечии Ирод, Ирка) или от редкого имени Ирбет, которое встречалось у старообрядцев. Но она менее убедительна — имя Ирбет не зафиксировано в святцах, а прозвище от зверя выглядит естественнее.

Географически фамилия тяготеет к Уралу и Поволжью, где тюркское влияние на русские говоры было сильным. Встречается она нечасто, и это даёт основание думать, что предки Ирбеткиных могли быть выходцами из среды, где знали и использовали тюркские слова для прозвищ — например, из казачества или из крестьян, соседствовавших с башкирами или татарами. Суффикс -ин, а не -ов, указывает на то, что прозвище было на -а (Ирбетка), что характерно для северных и центральных русских говоров, но в сочетании с тюркской основой это скорее указывает на смешанную этническую среду.

В итоге: Ирбеткин — это, скорее всего, «сын того, кого прозвали Ирбеткой», то есть «барсом». Фамилия редкая, и её носители могут гордиться связью с дикой природой и древними тюркскими корнями.