Фамилия Иргужаев — редкий случай, когда основа, скорее всего, не русская и не тюркская, а монгольская или калмыцкая. Встречается она преимущественно у народов, исторически связанных с кочевым миром Центральной Азии: у казахов, башкир, реже у калмыков и монголов. Если вы носите эту фамилию, ваши предки почти наверняка жили в степи, а саму фамилию образовали от личного имени или прозвища Иргужай.

Разбираем по составу. Суффикс -ев указывает на русскую модель оформления фамилии (притяжательное значение «чей?»), но корень иноязычный. Основа Иргужа- — это адаптированное на русский лад имя. В монгольских языках есть слово «иргэ» (народ, подданные, мирное население) и слово «жав» (счастье, удача, лёгкость). Соединение «Иргэ-жав» могло означать «народное счастье» или «счастье подданных». В казахском языке есть похожие антропонимы, где компонент «жүз» (сто, лицо) или «жан» (душа) мог трансформироваться в «жау» (враг), но в данном случае версия с «жав» (счастье) выглядит убедительнее.

Вторая возможная версия — от тюркского «ир» (мужчина, герой) и «гужа» (искажённое «кожа» — господин, хозяин, или «кужа» — сила). Получается «муж-господин» или «сильный муж». Однако для фамилий казахской степи более характерны модели на -бай, -бек, -тай, а форма на -жаев встречается реже и чаще связана именно с монгольским влиянием.

Сам суффикс -аев (а не -ов) — типичный для фамилий из тюркских языков, где корень оканчивается на гласный или мягкий согласный. В русской паспортной системе XIX–XX веков такие фамилии фиксировали у казахов и башкир при переходе к оседлости. Социально это могли быть скотоводы или воины, но точное сословие назвать трудно: в казахской среде фамилии давали всем, независимо от знатности.

Итог: фамилия Иргужаев — отономастическая, образована от дохристианского личного имени со значением «народное счастье» или «счастье подданных». Географически привязана к Южному Уралу, Казахстану и, вероятно, к западу Монголии. В русском написании закрепилась через суффикс -ев, что делает её формально «русской» по оформлению, но глубоко степной по корню.