Фамилия Ирих — редкий для России пример, уходящий корнями в германскую ономастику. Скорее всего, это вариант немецкой фамилии Eirich (по-русски её часто передают как Айрих). В основе лежит древнегерманское мужское имя Agarich, которое образовано от двух слов: agi («меч») и rih («мощный, сильный»). Называя сына Айрихом, родители желали ему стать отважным воином, доблестным и храбрым мужчиной.

Словообразовательная модель здесь не русская, а немецкая: фамилия застыла в форме имени-основы без привычных для нас суффиксов -ов, -ин или -ский. Это типично для фамилий, которые принесли в Россию переселенцы из немецких земель — ремесленники, офицеры или колонисты, осевшие в Поволжье и крупных городах в XVIII–XIX веках.

Написание «Ирих» вместо «Айрих» могло появиться из-за особенностей записи немецких фамилий в русских документах: буква «и» передавала тот же звук, что и немецкое ei в безударной позиции или при адаптации через польское посредничество. Встречаются и другие варианты той же фамилии: Эйрих, Ейрих, Айрих.

В России фамилия Ирих — большая редкость. Если ваши предки носили её, скорее всего, они были либо потомками немецких колонистов, либо выходцами из Прибалтики, где германское влияние было сильным. Сословно это могли быть горожане (ремесленники, купцы) или военные — люди, чья жизнь была связана с порядком и силой, что созвучно значению корня.