Фамилия Ирмухаметов — тюркского происхождения, и её разумнее разбирать с конца, а не с начала. Суффикс -ов указывает на русскую модель образования: так оформляли фамилии по отцу в среде крещёных или просто русифицированных тюркских народов (татар, башкир, казахов). Основа — мужское личное имя Ирмухамет (или Ирмухаммет), которое в свою очередь сложено из двух частей: «ир» и «Мухамет».

Первая часть, «ир», в тюркских языках означает «мужчина», «муж», «герой». Вторая — «Мухамет» — это народная, обиходная форма имени пророка Мухаммеда (Магомета). Таким образом, Ирмухамет буквально переводится как «мужчина (или герой) имени Мухамет» или «муж, подобный Мухамету». Имя это типично для мусульманской традиции, где составные имена с корнем «ир» (сравните Ирбулат, Иргали) подчёркивают мужские качества носителя.

Географически фамилия Ирмухаметов распространена в среде башкир и татар (особенно в Башкортостане, Татарстане, Оренбургской и Челябинской областях). Встречается она и у казахов, но там чаще сохраняется исходная форма без русского суффикса — Ирмухамет. При этом у башкир и татар фамилия могла закрепиться как в среде духовенства (муллы, учителя медресе), так и у простых крестьян-скотоводов — имя не указывало на сословие, а лишь на религиозную принадлежность.

Любопытная деталь: в дореволюционных метрических книгах и переписях фамилию могли записывать по-разному — Ирмухаметов, Ирмухамметов, Ермухаметов (с заменой начального «и» на «е» под влиянием местных говоров). Вариант с двойным «м» (Ирмухамметов) ближе к арабскому оригиналу, но в русской канцелярской традиции чаще писали с одним «м» — так запись становилась короче и проще. Если ваш предок носил эту фамилию, он почти наверняка был мусульманином, говорившим на одном из тюркских языков, а его отца звали Ирмухамет.