Фамилия Иваиеп — крайне редкая и, вероятно, искажённая при записи или передаче. В русской ономастике нет устоявшейся модели, по которой образована такая форма. Наиболее правдоподобное объяснение — это результат ошибки в документе: фамилию могли записать на слух, неправильно прочитать или перепутать буквы при переписи. Например, исходной могла быть фамилия Ивашев, Ивин, Иваненко или даже Ивлев — все они распространены и имеют прозрачную этимологию. Буквосочетание «иа» в корне нетипично для русских фамилий, тогда как для финно-угорских или прибалтийских языков — возможно, но без дополнительных данных (региона, национальности предков) это лишь догадка.

Если отбросить версию описки, можно предположить, что фамилия образована от личного имени или прозвища с корнем «Ива-», что встречается в некоторых говорах (например, «ива» — дерево, или уменьшительное от Иван). Суффикс «-иеп» не характерен для русской модели (обычно -ов, -ев, -ин, -ский, -их). Он может указывать на нерусское происхождение: в молдавской, румынской или греческой среде встречаются окончания на согласный с «-еп». Но и там форма Иваиеп — единичный случай.

Скорее всего, носители этой фамилии столкнулись с путаницей при оформлении документов в XIX–XX веках. Если вы ищете свои корни, стоит проверить варианты написания: Иваев, Иваип, Ивиеп, а также однофамильцев в архивах по региону, откуда родом семья. Без географической привязки определить происхождение точнее невозможно — фамилия не входит ни в один известный ономастический словарь.