Фамилия «Иваиов» — редкий и нестандартный вариант написания, который почти наверняка является искажением или опечаткой. В русском языке нет суффикса «-иов», который бы регулярно образовывал фамилии. Подавляющее большинство фамилий на «-ов» образовано от имен или прозвищ, оканчивающихся на твёрдый согласный: Иванов (от Иван), Петров (от Пётр). Форма «Иваиов» возникает, скорее всего, при неверной записи фамилии в документах (например, при плохом почерке или ошибке писаря) или как результат диалектного произношения, где звук «н» редуцируется. Второй возможный вариант — это фамилия, образованная от редкого имени или прозвища «Ивай» (возможно, краткая форма от Иван или диалектное слово), но тогда фамилия должна была бы писаться как «Иваев» (по модели «Воробей — Воробьёв»). Поскольку основа «Ивай» даёт суффикс «-ев», написание «Иваиов» с суффиксом «-ов» грамматически непоследовательно. Таким образом, если вы встретили фамилию «Иваиов», с высокой вероятностью это либо опечатка в нынешней записи, либо историческая ошибка, закрепившаяся в паспорте. В первом случае правильным вариантом будет «Иванов», во втором — перед нами уникальный случай, не поддающийся стандартному словообразовательному анализу.