Фамилия Ивагов — редкий случай, когда фамилия на -ов образована не от имени Иван, а от его производной формы. Это сразу заметно: если бы в основе лежало полное имя Иван, мы бы имели Иванов — самую распространённую русскую фамилию. Суффикс -ов здесь стандартный, патронимический, указывающий на принадлежность («чей?» — «Ивагов»). Но основа — не Иван, а Иваг.

Иваг — это разговорная, сокращённая форма от имени Иван, характерная для северных и северо-западных русских говоров, а также для некоторых регионов Поволжья. В диалектах встречаются варианты Ивак, Иваш, Иванка, Иваня и в том числе Иваг. Такие усечения (с суффиксами -аг, -ак, -аш) типичны для обиходной речи: они звучали ласково или фамильярно, как современные Ваня, Ванёк. Со временем прозвище Иваг закрепилось за человеком, а его дети стали Иваговыми — «внуки (или потомки) Ивага».

Географически фамилия редкая и локальная. Согласно доступным данным, Иваговы встречаются в основном в Вологодской, Архангельской областях и в Пермском крае — то есть в зоне бытования севернорусских говоров, где и возникла форма Иваг. В других регионах России эта фамилия почти не фиксируется, что подтверждает её диалектное происхождение.

Интересно, что фамилия Ивагов избежала «обрусевшего» варианта с -ев (Ивагев), который был бы логичен при основе на мягкий согласный, но здесь основа твёрдая, и суффикс -ов стоит по правилу. Это ещё один признак того, что форма сложилась в народной среде, а не в канцелярии или при переписи.

Таким образом, предки носителя фамилии Ивагов — скорее всего, крестьяне или посадские люди из северных русских земель, а сама фамилия — живое напоминание о том, как в деревне могли ласково или по-свойски называть обычного Ивана.